分段函数、函数的可积性与原函数存在性

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  • 时间:2018-12-08 13:36
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  在大学数学深造内容中,函数及分段函数的教养内容盘踞次要部分,其也是生长和熬炼学生数学思维能力的无效性。本文会商了数学定理中分段函数的含意及使用,并借助分段函数的使用,会商了原函数的具有性与函数的可积性之间的相互关连,有助于把握基元的两个首要观点函数和定积分。   【关键词】分段函数 可积性 原函数 阻遏点   在单变量函数的积分中,原函数(不定积分)和定积分的界说是差别的,然而当咱们在懂得微积分的基础现实时,咱们将它们联络在一起。因而,许多初学者都有原始函数具有的假象,那末函数是黎曼可积函数或函数可积函数,那末它的原始函数就必定具有。在目前的数学剖析教科书中,虽然指出原始函数的具有性和函数的可积性不必然是相干的,但因为原始函数的限制性以及书简知识的容量和教养光阴的限制,对原始函数的具有性和函数可积性之间的关连没有遍及的会商。本文在数学教材深造的基础上,借助分段函数对原始函数的具有性和函数的可积性举行普通的证实会商,进一步懂得原始函数具有性与函数的可积性两个首要界说之间的关连。   一、分段函数的会商   初等函数的使用是数学深造的重点深造内容。而非初等函数的会商往往在对某些首要概定理和问题的进一步证实和懂得中,它的次要使用之一是假定反例来餍足一些要求,而后剖析和论述界说或定新万博,万博网站,万博体育竞技官网理。分段函数是如斯首要的一种函数。比方Dirichlet函数,黎曼函数,标识函数等等都是这个使用的例子。分段函数是函数域的差别分段部分函数并不是一个剖析表白式,是由几个不相反的剖析表白式归纳综合的函数,有时具有无限数目的剖析表白式。分段函数通常被界说为:设工是一个区间,f在I上有意思且餍足   则称f为I上的分段函数。因为数学定理深造中的分段函数,每个fi都是Ii上的函数,咱们能够会商它们的特性性子,如极限,函数的延续性,可微分性和函数可积性。因为这些函数在函数域的差别分段由不相反的剖析表白式默示,它们通常具有一些差别的属性,这是咱们所关怀的。尤其是在功效表白式表白的边界点,它是这类独特状态的临界点,因而它是会商的焦点。经由进程会商分界点用来证实函数的一些特性或首要的特性。比方黎曼函数,会商了它在有理临界点是不延续的,而在无理临界点是延续的。因而,学生在一个延续的点上对功效的部分特征有更强烈的印象。普通而言,经由进程使用分段函数能够加强数学深造中的一些基础定理的懂得,并且经由进程使用分段函数能够会商函数的延续性,可微分性和可积性,具有一些独特性子的函数能够哄骗分段函数来构造,而数学深造中的一些难题能够经由进程使用分段函数来解决。   作为函数的相干教养内容来讲,分段函数思维能够依照现实数学题倾向详细思维,依照现实教养和深造内容,不断的在深造进程中熬炼本身的逻辑思维意识,将函数使用到各畛域的内容中,比方物理学、化学和相干的学科内容中,惟独这样才能体现数学知识中函数使用的无效性,从中领会到函数及分段函数的现实内容的无效性及首要性。   二、对原函数的具有性与可积性的相干会商   (一)关于可积函数的原函数具有性的会商   第一种可积函数,延续函数必有原函数。此时,原始函数能够由一个变量下限合格积分默示。即若f在[a,b]上延续,则F(x)=∫axf(t)dt是f在[a,b]上的一个原函数。第二种可积函数,有无限个不延续点的有界函?怠H?f在[a,b]内具有第一种阻遏点,那末f在[a,b]内不具有原函数,若f在[a,b]上具有无限范例的第二范例不延续点,则f在[a,新万博,万博网站,万博体育竞技官网b]上不具有原函数,若是f在[a,b]上具有第二类非无限范例的不延续点,则f在[a,b]上原函数的具有是不确定的。关于可积函数的原函数具有性情理的证实必然要联合现实给出的前提,哄骗前提举行反推,惟独这样才能找到无效的解决措施及方式,哄骗函数的基础定理及相干性子举行解题,并依照现实教养的内容对整个函数深造进程发生深入领会。   (二)关于原函数具有的可积性的会商   显然,若f在区间[a,b]上延续,则f在区间[a,b]上可积,若是f在[a,b]上是不延续的函数,那末就说,在[a,b]内f对应的原函数F(x)是具有的,f在区间[a,b]上也不必然可积。因而对函数的可积性与原函数的具有性相干剖析,将整个数学函数的无效性及相干定理的使用联合起来,实现整个数学深造进程的无效性。   Dirichlet函数和黎曼函数原函数的具有性和可积性次要与延续点的“数目”差别。前者的不延续点是不成数的,而后者的不延续点是可数的。因而,一个不是可积的,另一个是可积的。因为黎曼积分原来等于对一个延续函数的一个积分,以是为了使函数是可积的,其延续的点的个数应当足够大而成为一个密集聚集。   三、结语   原函数的具有性与函数的可积性是不相反的界说,这意味着可积函数不必然具有原函数,而具有原函数的函数也不必然是可积或不成积。当然,有些功效既不是可积也不是原始的。在数学深造或扩展到高等数学的深造中,分段函数作为一种具有独特性子的函数,具有首要的使用和意思。在数学教养中,若是能充足使用分片函数的特性,懂得函数的可积性与函数的具有性之间的关连,能够准确指引学生进一步懂得现实的基础界说和正负两种意思。别的,准确认知和使用这些基础定理和现实是十分首要的,对进步数学深造的教养效果也是十分有意思的。   参考文献:   [1]张守田.分段函数在数学剖析教养中的使用[J].锦州师范学院学报,2003,(2).   [2]阎彦宗,陈海鸿,岳晓红.可积性与原函数具有性的关连[J].安庆师范学院学报,2003,(2).   [3]郭秀霞,宋增酸.先容一种用单元门路函数将分段函数合写成一个式子的新方式[J].河新万博,万博网站,万博体育竞技官网南机电高等专科学校学报,1999,(3).   [4]马保国,王延军.分段函数、函数的可积性与原函数具有性[J].大学数学,2009,(2).